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北京市宣武区2006年高三年级第一次质量检测
高三数学（理科）
一 . 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集I是实数集R， 与 都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A.  B. 
C.  D. 
2. 已知函数 ，那么 的值等于（ ）
A.  B.  C. 0 D. 
3. 若直线 按向量 平移后与圆 相切，则实数m的值等于（ ）
A. 8或 B. 10或0 C.  或2 D.  或0
4. 函数 ，对于任意的 ，都有 ，则 的最小值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
5. 已知 是直线 上的一点， 是直线 外的一点，由方程 表示的直线与直线的位置关系是（ ）
A. 互相重合 B. 互相平行
C. 互相垂直 D. 互相斜交
6. 已知 夹角为 ，则以 为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
A. 15 B.  C. 14 D. 16
7. 如图，正四面体A�BCD中，点E在棱AB上，点F在棱CD上，使得 ，设 与 分别表示EF与AC、BD所成的角，则（ ）
A.  是（ ）上的增函数
B. 是（）上的减函数
C. 在（0，1）上递增，在（ ）上递减
D. 是（）上的常数函数
8. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：
当 时， ；
当 时， 。
则函数 的最大值等于（ ）
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）
A.  B. 1 C. 6 D. 12
二 . 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案写在题中的横线上。
9. 已知复数 ，且z满足 ，则实数t的值为___________。
10. 已知 的展开式中不含x的项是 ，则p的值是___________。
11. △ABC中，若 ，则 的值为___________。
12. 点P是抛物线 上一动点，则点P到点（0，）的距离与点P到直线 的距离和的最小值是___________。
13. 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A、B所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有___________种。（用数字作答）
14. 编辑一个运算程序： ， ， ，则 的输出结果为___________。
三 . 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分12分）
已知 。
（ I）求 的值；
（ II）求 的值。
16. （本小题满分13分）
这份模拟题出了 8道选择题，每题5分，每道题有四个可供选择的答案，一个是正确的，三个是错误的，小伟只知道其中6道题的正确答案，其余两道题完全靠猜测回答。
（ I）求小伟选择题正确答案不少于7个的概率；
（ II）设小伟选择题得分为 ，求的概率分布及 。
17. （本小题满分14分）
下面的一组图形为某一四棱锥 S�ABCD的侧面与底面。
（ I）请画出四棱锥S�ABCD的示意图，是否存在一条侧棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，请给出证明；
（ II）若E为AB中点，求证：平面SEC⊥平面SCD；
（ III）求二面角B�SC�D的大小。
18. （本小题满分13分）
飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为 A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。
（ I）求A、C两个救援中心的距离；
（ II）求在A处发现P的方向角；
（ III）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，说明理由。
19. （本小题满分14分）
设不等式组 所表示的平面区域为 ，记内的整点个数为  。（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（ I）求数列 的通项公式；
（ II）记数列的前n项和为 ，且 ，若对于一切的正整数n，总有 ，求实数m的取值范围。
20. （本小题满分14分）
已知函数 的定义域为 I，导数 满足 且 ，常数 为方程 的实数根，常数 为方程 的实数根。
（ I）若对任意 ，存在 ，使等式
 成立。求证：方程不存在异于的实数根；
（ II）求证：当 时，总有 成立；
（ III）对任意 ，若满足 ，
求证：
北京市宣武区 2006年高三年级第一次质量检测
高三数学（理科）参考答案
一 .
1. A 2. C 3. D 4. D
5. B 6. A 7. D 8. C
二 .
9.  10.  11. 
12.  13. 216 14. 2007
三 .
15. 解：（I）
 ………………
6分
（ II）
 ………………
12分
16. 解：（I）“小伟选择题正确答案不少于7个”等价于“2道猜测的答案中正确答案至少有1个”，
∴所求事件的概率为 ，或
……………… 6分
（ II）可能取值分别为30，35，40
∴的概率分布为
 ………………
13分
17. 解法一：（I）存在一条侧棱SA⊥面ABCD，如图所示。
∵在△ SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵ ，∴SA⊥面ABCD………………4分
（ II）取SD中点F，SC的中点G，连结AF、FG、EG
∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥CD
又∵CD⊥AD且SA∩AD＝A
∴CD⊥面SAD
∴CD⊥AF
∵Rt△SAD中，SA＝AD，∴AF⊥SD
又∵CD∩SD＝D，∴AF⊥面SCD
∴四边形 AEGF为平行四边形
∴ EG∥AF
∴EG⊥面SCD
又∵ 面SEC，∴平面SEC⊥平面SCD………………9分
（ III）过D作DH⊥SC于H，连结HB、BD
∵△SBH≌△SDH
∴∠BHS＝∠DHS＝90°
∴ BH⊥SC
∴∠BHD为二面角B�SC�D的平面角
Rt△SDC中，
△ BHD中，
∴∠ BHD＝120°
∴二面角 B�SC�D的大小为120°………………14分
解法二：（ I）同解法一………………4分
（ II）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A�xyz。取SC中点G，连结EG，SE，EC，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），S（0，0，a），
又 ⊥面 SDC
∵面SEC
∴平面SEC⊥平面SDC………………9分
（ III）由（II）得平面SDC的一个法向量为 ，设平面SBC的法向量为
由 可得：
 且 ，设
则
 ，结合图形知
二面角 B�SC�D的大小为120°………………14分
18. 解：（I）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
则
即 A、C两个救援中心的距离为 ………………4分
（ II），所以P在BC线段的垂直平分线上
又 ，所以 P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且
∴双曲线方程为
BC的垂直平分线的方程为
联立两方程解得：
∴∠ PAB＝120°
所以 P点在A点的北偏西30°处………………9分
（III）如图，设
又∵
即 A、B收到信号的时间差变小………………13分
19. 解：（I）由 ，得
 或
∴内的整点在直线 和上，记直线 为 l，l与直线 的交点的纵坐标分别为 ，则
 ………………
7分
（ II）
∴当 时， ，且
 是数列 中的最大项，故 ………………
14分
20. 证明：（I）假设方程有异于的实根m，即
则有 成立
因为 ，所以必有 ，但这与 矛盾，因此方程不存在异于的实数根。……………… 4分
（ II）令
∴函数 为减函数
又
∴当 时， ，即 成立……………… 8分
（ III）不妨设
 为增函数，即
又 ，∴函数 为减函数，即
即
 ……………………
14分
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